PISA 2012 ASSESSMENT AND ANALYTICAL FRAMEWORK – © OECD 2013 7 PISA 2012 MATEMATTICKÝ KONCEPČNÍ RÁMEC Matematické postupy a základní matematické dovednosti Matematické postupy Definice matematické gramotnosti hovoří o schopnosti jedince formulovat, používat a interpretovat matematiku. Právě slova „formulovat“, „používat“ a „interpretovat“ tvoří dobrý základ pro uspořádání matematických postupů, které zachycují, co se odehrává, když jedinec propojuje kontext zadání úlohy nebo problému s matematikou a tak ho řeší. V šetření PISA 2012 jsou výsledky sdělovány právě prostřednictvím těchto matematických postupů, což pro interpretaci výsledků umožňuje použít následující kategorie: • formulování situací matematicky; • používání matematických pojmů, faktů, postupů a uvažování; • interpretování, aplikace a hodnocení matematických výsledků. Je důležité, aby politici i učitelé z praxe věděli, jak účinně jsou žáci schopni tyto postupy používat. Výsledky projektu PISA v kategorii formulování ukazují, jak efektivně žáci poznají možnost použít matematiku v problémových situacích a jak jsou potom schopni dát situaci potřebnou matematickou strukturu. Díky tomu pak mohou kontextualizovaný problém formulovat jako matematickou úlohu. Co se týká kategorie používání, výsledky projektu PISA naznačují, jak dobře žáci používají výpočty a úpravy, jak efektivně aplikují známé pojmy při úspěšném řešení zformulované matematické úlohy. Výsledky projektu PISA v kategorii interpretování prezentují, jak efektivně žáci umějí reflektovat matematická řešení či závěry, interpretovat je v kontextu problému z reálného světa a rozhodnout, zda dávají výsledky v reálném světě smysl. Obratnost, s jakou žáci používají matematiku v reálných situacích, závisí na dovednostech souvisejících se všemi těmito kategoriemi. Porozumění úspěšnosti žáků v každé ze tří kategorií by mělo přispět k tomu, aby se odborná diskuze i kurikulární rozhodnutí přiblížily realitě výuky. Formulování situací matematicky Slovo „formulovat“ v definici matematické gramotnosti odkazuje na schopnost rozpoznat příležitost pro použití matematiky v problémových situacích a schopnost vtisknout situaci potřebnou matematickou strukturu. V průběhu formulování situací matematicky rozhodujeme, jaké matematické pojmy a postupy potřebujeme k analýze, formulování a řešení úlohy. Překládáme ji z kontextu reálného světa do oblasti matematiky, dáváme problému z reálného světa matematickou strukturu a reprezentaci, zvažujeme omezení a předpoklady úlohy. Konkrétně zahrnuje formulování situací matematicky například následující činnosti: • určení matematických stránek problému v reálném kontextu a určení důležitých proměnných; • rozpoznání matematické struktury (včetně pravidelností, vztahů a schémat) problémů a situací; • zjednodušení situace nebo problému tak, aby ho bylo možné podrobit matematické analýze; • určení omezujících podmínek a předpokladů nutných pro matematické modelování a zjednodušení vycházející z kontextu; • matematická reprezentace situace za použití vhodných proměnných, symbolů, schémat a standardních modelů; • reprezentace problémové situace jiným způsobem, včetně jejího uspořádání podle matematických pojmů, a určení vhodných předpokladů; • porozumění a vysvětlení vztahů mezi jazykem vázaným na kontext a symbolickým a formálním jazykem nutným pro matematickou reprezentaci; • překlad problémové situace do jazyka matematiky či matematické reprezentace; • určení, které stránky problémové situace odpovídají známým matematickým úlohám, pojmům nebo postupům; • využití informačních technologií (například tabulkového procesoru, kalkulátorů pro tvorbu grafů) ke znázornění matematických vztahů ukrytých v kontextualizovaném problému. Zveřejněná testová položka PIZZY (viz „Ukázkové úlohy z matematiky“) vyžaduje, aby žáci uměli formulovat situaci matematicky. Žáci sice musejí při řešení úlohy provádět početní operace a výsledky výpočtu aplikovat, aby určili, která pizza je za danou cenu nejvýhodnější, kognitivně výrazně náročnější je ale formulovat matematický model „výhodná koupě“. Žák si musí uvědomit, že vzhledem k tomu, že pizzy jsou stejně silné, ale mají různé průměry, je třeba analyzovat obsah kruhu. Vztah mezi množstvím pizzy a množstvím peněz pak popisuje poměr hodnota-cena,